Нелинейное управление однозвенным гибким манипулятором с шарниром

В данной работе представлен вариант решения задачи, предложенной в статье.

Математическая модель однозвенного гибкого манипулятора с шарниром в вертикальной плоскости имеет вид:

$$\begin{cases} \dot x_1 = x_3 \\ \dot x_2 = x_4 \\ \dot x_3 = \dfrac{K_s}{J_h} x_2 - \dfrac{K_m^2 K_g^2}{R_m J_h} x_3 + \dfrac{K_m K_g}{R_m J_h} v \\ \dot x_4 = -\dfrac{K_s}{J_h} x_2 + \dfrac{K_m^2 K_g^2}{R_m J_h} x_3 - \dfrac{K_m K_g}{R_m J_h} v - \dfrac{K_s}{J_l} x_2 + \dfrac{mgh}{J_l} \sin(x_1 + x_2) \end{cases}$$

где

$$\begin{cases} \theta=x_1 \\ \alpha=x_2 \\ \dot\theta=x_3 \\ \dot\alpha=x_4 \end{cases}$$

Параметры системы:

Параметр	Обозначение	Величина
Жёсткость пружины	$K_s$	1,61 [Н/м]
Инерция	$J_h$	0,0021 [кг·м²]
Масса звена	$m$	0,403 [кг]
Ускор. своб. пад.	$g$	-9,81 [Н/м]
Высота	$h$	0,06 [м]
Конст. двигателя	$K_m$	0,00767 [Н/рад/с]
Передаточное число	$K_g$	70
Инерция нагрузки	$J_l$	0,0059 [Кг·м²]
Сопротивление двиг.	$R_m$	2,6 [Ом]

В аффинной форме

$$\begin{cases} \dot x=f(x)+g(x)u \\ y=h(x) \end{cases}$$

динамика объекта управления может быть представлена в виде:

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} x_3 \\ x_4 \\ \dfrac{K_s}{J_h} x_2 - \dfrac{K_m^2 K_g^2}{R_m J_h} x_3 \\ -\left( \dfrac{K_s}{J_h} + \dfrac{K_s}{J_l} \right) x_2 + \dfrac{mgh}{J_l} \sin(x_1 + x_2) + \dfrac{K_m^2 K_g^2}{R_m J_h} x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{K_m K_g}{R_m J_h} \\ - \dfrac{K_m K_g}{R_m J_h} \end{bmatrix} \; u$$ $$y = x_1+x_2$$

где

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \theta \\ \alpha \\ \dot \theta \\ \dot \alpha \end{bmatrix}$$

Поиск линеаризующего управления

проведем в системе символьных вычислений Mathematica, реализовав алгоритм, описанный в книге на стр. 359-361:

$$u=\dfrac{\left(g h J_h m R_m \left(\sin (x_1+x_2) \left(-g h m \cos (x_1+x_2)+J_l (x_3+x_4)^2+K_s\right)+K_s x_2 \cos (x_1+x_2)\right)+K_s \left(J_l K_g^2 K_m^2 x_3-K_s R_m x_2 (J_h+J_l)\right)\right)-J_h J_l R_m \left(k_3 (g h m (x_3+x_4) \cos (x_1+x_2)-K_s x_4)+k_2 (g h m \sin (x_1+x_2)-K_s x_2)+y J_l k_0+J_l k_1 (x_3+x_4)\right)}{J_l K_g K_m K_s}$$

Модель линеаризованной сиситемы

в Simulink имеет вид:

Моделирование в течение 3 секунд с начальными условиями $\theta_0=\pi/4$, $\alpha_0=-\pi/6$, $\dot\theta_0=0$, $\dot\alpha_0=0$ и коэффициентами $k_0=k_1=k_2=k_3=1$, даёт следующие результаты:

Как видно из графиков, для корректной стабилизации звена, необходимо правильным образом подобрать коэффициенты $k_0$, $k_1$, $k_2$, $k_3$.

Применим методы линейной теории

для поиска коэффициентов $k_0$, $k_1$, $k_2$, $k_3$. Вычислим линейный регулятор с обратной связью по внешнему контуру, который регулирует положение наконечника до постоянного заданного значения.

Так как относительная степень модели $r=4$, то

$$\bf{A}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad\bf{B}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

При весовых матрицах

$$\bf{Q}=\begin{bmatrix} 100 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 100 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0{,}1 \end{bmatrix},\quad\bf{R}=0{,}1$$

Результаты моделирования:

При весовых матрицах

$$\bf{Q}=\begin{bmatrix} 10^{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 10^{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10^{-3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10^{-3} \end{bmatrix},\quad\bf{R}=10^{-3}$$

Результаты моделирования: